Identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado
Aprende a identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado usando un diagrama de flujo para que tengas más claridad en tu misión.
La identificación de cónicas es un tema fundamental en el estudio de la geometría analítica, y una de las herramientas más útiles para ello es la ecuación general de segundo grado. Lee este artículo que en que se analiza la ecuación de las cónicas y te dirá cómo saber si es circunferencia, parábola, elipse o hipérbola.
En este blog post te diré cómo identificar cónicas porque exploraremos qué son las cónicas y cómo se pueden identificar con la ecuación general de segundo grado para las cónicas.
Este artículo te ofrece una metodología paso a paso de cuáles son los criterios para identificar a la cónica que representa la ecuación general de segundo grado.
Vamos a responder a tu pregunta sobre ¿Cómo saber qué tipo de cónica es una ecuación?
Los criterios de identificación de las cónicas se ofrecen mediante un diagrama de flujo para facilitar su lectura al estudiante.
A partir de la ecuación general de segundo grado podemos identificar las siguientes ecuaciones:
- Ecuación general de la línea recta
- Ecuación general de la circunferencia
- Ecuación general de la elipse
- Ecuación general de la parábola
- Ecuación general de la hipérbola
Para identificar las cónicas, tenemos unos criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo.
¿Qué son las cónicas?
Las cónicas son una familia de curvas planas que incluyen la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
Estas curvas se pueden definir como el lugar geométrico de puntos que cumplen una cierta propiedad, como la distancia a un punto fijo (foco) es proporcional a la distancia a una recta fija (directriz).
Identificación de cónicas con la ecuación general de segundo grado
La ecuación general de segundo grado de una cónica es de la forma:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
donde A, B, C, D, E y F son constantes reales y no todas iguales a cero. Para identificar el tipo de cónica representada por esta ecuación, se pueden seguir los siguientes pasos:
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Cálculo de límites de una función: Métodos y ejemplos aplicados- Calcular el discriminante: B² - 4AC. Este valor determina si la cónica es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola.
- Si el discriminante es igual a cero, entonces la cónica es una circunferencia.
- Si el discriminante es mayor que cero, entonces la cónica es una elipse si A y C tienen el mismo signo, o una hipérbola si tienen signos opuestos.
- Si el discriminante es menor que cero, entonces la cónica es una parábola.
Identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado
Ahora veremos un segundo método para identificar las cónicas.
Este se sustenta en la inspección visual de la ecuación de segundo grado.
Saber leer la ecuación general de segundo grado para identificar las cónicas a partir de ella es un aprendizaje que deben adquirir los estudiantes en su camino a las matemáticas superiores.
Análisis preliminar de la ecuación general de segundo grado
Para el estudiante de geometría analítica o pre-cálculo, es indispensable poder identificar la curva cónica que se describe cuando se tiene como información sólo la ecuación general de segundo grado.
¿Cuáles son los elementos de la ecuación general de segundo grado para las cónicas?
Coeficientes de la ecuación general de segundo grado
Los coeficientes son los números que multiplican a las variables en la ecuación, estos son los valores A, B y C en la ecuación cuadrática. Son fundamentales ya que determinan las características esenciales de la cónica. A especifica la 'curvatura' de la cónica, B se relaciona con la 'orientación' de la cónica, y C controla su 'posición' en el espacio.
Término independiente en la ecuación general de segundo grado
El término independiente en la ecuación cuadrática es el valor C. Este término no está ligado a ninguna variable y tiene un papel relevante en la posición de la cónica respecto al origen de las coordenadas. Modificar C traslada la cónica a lo largo del eje vertical sin cambiar su forma o orientación.
El discriminante para identificar cónicas en la ecuación general de segundo grado
El discriminante es una parte crucial de la ecuación, calculado a partir de los coeficientes como B² - 4AC. Dependiendo del valor del discriminante, podemos determinar qué tipo de cónica se formará. Si el discriminante es positivo, la ecuación representa una hipérbola. Si el discriminante es cero, la ecuación representa una parábola. Si el discriminante es negativo, la ecuación representa una elipse o un círculo, dependiendo de si los coeficientes A y B son iguales. Este elemento nos permite clasificar las cónicas incluso antes de graficarlas o trabajar con ellas en profundidad.
Criterios Para Identificar la Cónica Que Representa una Ecuación de Segundo Grado
Identificando la Cónica de una Ecuación de Segundo Grado: Los Criterios
Ahora, la gran pregunta es: ¿cómo identificar qué cónica representa una ecuación de segundo grado? Aquí es donde entran en juego los criterios de identificación.
- Círculo. Un círculo se puede reconocer cuando los coeficientes de x² y y² son iguales y el término de xy no está presente.
- Elipse. En una elipse, al igual que en un círculo, los coeficientes de x² y y² son iguales y no hay término xy. Sin embargo, la constante al final de la ecuación no es cero.
- Parábola. Una parábola se puede identificar cuando solo uno de los términos cuadrados (x² o y²) está presente en la ecuación.
- Hipérbola. Una hipérbola se distingue cuando los coeficientes de x² y y² son iguales pero de signos opuestos, y el término xy no está presente.
Así que partiremos de que se nos ha sido dada la ecuación general de segundo grado como se muestra enseguida:
Este proceso de identificación de la cónica se hace a partir de la inspección de la ecuación que es conocida por el estudiante y para lo que se presupone una manipulación previa de las cónicas de forma individual, en otra palabras, que el estudiante conozca y pueda manipular cada una de las cónicas tanto en su ecuación como en el trazo de sus elementos.
Aplicación de un diagrama de flujo para identificar la cónica
En mis cursos de geometría analítica he aplicado un método para identificar las cónicas usando un diagrama de flujo o árbol de decisión. Vamos entonces a trabajar con esta herramienta para aprender a identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado.
Con esta herramienta he visto que los estudiantes tienen más claro el proceso y les resulta más sencillo identificar la curva pues basta seguir un camino a partir de preguntas sencillas que tiene sólo la respuesta Sí o No.
Para identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado, es necesario compararla con la ecuación general de segundo grado y seguir el mecanismo que se indica más adelante en un diagrama de flujo de la ecuación de segundo grado.
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Expresión algebraica. Aprende sobre las combinaciones de letras y númerosPara tener éxito en el proceso de identificación, el estudiante debe tener claro el significado de cada uno de los coeficientes, señalados aquí con una letra mayúscula y recordar los criterios para identificar la cónica que representa una ecuación de segundo grado.
Es importante saber que la nomenclatura puede variar de acuerdo con el texto que el estudiante está usando en su curso de geometría analítica.
El mecanismo para identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado se muestra en la imagen siguiente y para un buen resultado en la identificación de cónicas se recomienda que el estudiante haga pruebas en el diagrama de flujo con al menos una ecuación para cada una de las cónicas.
Ejemplos Prácticos
Pongamos en práctica estos criterios para identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado. Supongamos que tenemos la ecuación 3x² + 3y² - 6x + 9y + 9 = 0. Los coeficientes de x² y y² son iguales y no hay término xy, por lo tanto, esta ecuación representa un círculo.
Ver explicación
También puedes ver la explicación detallada de cómo usar este diagrama de flujo para identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado en mi video sobre el tema que te muestro a continuación:
Video tutorial para identificar cónicas a partir de la ecuación general de segundo grado
Espero que este método de identificación de cónicas te sea de utilidad como estudiante o como maestro para compartirlo con tus alumnos.
Preguntas Frecuentes
- ¿Qué es una ecuación de segundo grado? Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos, como ax² + bx + c = 0.
- ¿Qué son las cónicas? Las cónicas son figuras geométricas que se obtienen al cortar un cono con un plano, que incluyen el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola.
- ¿Cómo puedo identificar un círculo en una ecuación de segundo grado? Un círculo se puede reconocer cuando los coeficientes de x² y y² son iguales y el término de xy no está presente.
- ¿Qué diferencia a una elipse de un círculo en una ecuación de segundo grado? En una elipse, al igual que en un círculo, los coeficientes de x² y y² son iguales y no hay término xy. Sin embargo, la constante al final de la ecuación no es cero.
- ¿Cómo se identifica una parábola en una ecuación de segundo grado? Una parábola se puede identificar cuando solo uno de los términos cuadrados (x² o y²) está presente en la ecuación.
Conclusiones
Identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado es un proceso que podemos calificar de sencillo siempre que se siga el diagrama de flujo que se ha propuesto en este artículo.
El estudiante no deberá tener dificultad en seguir el sentido del análisis para encontrar la cónica que corresponde a la ecuación que desea evaluar.
Ahora ya sabes identificar cónicas según la ecuación general de segundo grado. Pero si tienes preguntas sobre este proceso puedes dejarlas como comentario en la parte fina de esta página o puedes hacerme hagas llegar un mensaje en la página de contacto de este blog.
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Antonio P. dice: Laura, un truco es pensar en el discriminante como el que te dice la 'forma' de la cónica. Si recuerdas la relación con las raíces, te puede ayudar a asociarlo mejor.
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Fernando Gómez dice:
Hola Laura, buena pregunta. Podrías asociar el discriminante con algo visual, como colores o formas para hacerlo más intuitivo. ¡Espero que te sirva!
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Marcos Vélez dice:
me perdí en lo de identificar cónicas, pero el video parece que ayuda, gracias por ponerlo
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Sergio Ruiz dice:
Hola Marcos.
Gracias por comentar y me da mucho gusto que el video te haya ayudado, ahora te invito a suscribirte a micanal para ayuda en otros temas de matemáticas.
Saludos
Sergio Ruiz
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Carla S. dice:
Fascinante la manera en que se presenta la identificación de cónicas en este artículo, el diagrama de flujo es de much ayuda. Siempre me ha gustado cómo estas formas se pueden relacionar con conceptos reales. ¡Buen trabajo Sergio Ruiz!
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José Manuel dice:
Estaba buscando recursos para ayudar a mi hijo con su tarea de matemáticas y me topé con este artículo. ¿Creen que sería apropiado para alguien de 15 años?
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Sergio Ruiz dice:
Hola José Manuel.
Independientemente de la edad, el ártículo será adecuado para un estudiante que ya ha llevado el curso de Geometría Analítica y conoce lo que son las cónicas.
Te mando un saludo y estoy a tus órdenes.
Gracias por comentar.
Sergio Ruiz
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Ana P. dice:
siempre me pregunté cómo se identifican esas cónicas en las ecuaciones, es un lio pero este artículo ayuda bastante, gracias Sergio Ruiz
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Lucía R. dice:
Totalmente de acuerdo, Ana. También me ayudó a aclarar varias dudas. ¡Estos recursos son oro!
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David T. dice:
Excelente exposición de los elementos de la ecuación general de segundo grado para las cónicas. Como estudiante de matemáticas, cuando encuentro recursos como este me parecen muy valiosos para comprender mejor los conceptos.
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Julia C. dice:
mmm, no sé, siempre he pensado que estas matemáticas son demasiado complicadas y no muy útiles, pero supongo que para alguien le será útil esto.
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Roberto N. dice:
En el artículo se menciona el uso del discriminante para identificar cónicas. Es un enfoque interesante, pero estaría bien ahondar más en cómo se aplica en situaciones complejas. ¿Algún ejemplo práctico más, Sergio Ruiz?
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Irene G. dice:
esto de las cónicas es nuevo para mi, ¿cómo empiezo para entenderlo desde cero? parece complicado pero quiero aprender porque debo aprobar mi curso en la escuela
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Pedro A. dice:
la verdad es que nunca entendi estas cosas, y leyendo esto me acuerdo por qué. demasiado enredo para mi, no se para qué sirve aprenderlo
Antonio P. 
Sergio Ruiz Deja un comentario
hola, estaba viendo lo de los discriminantes para identificar cónicas y me preguntaba si hay una forma simple de recordar cómo hacerlo, es que me atoro un montón con eso. Sergio Ruiz, ¿tienes algún truco?